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设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是减函数,又f(-2)=0,则(x-3)•f(x)<0的解集是.
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设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是减函数,又f(-2)=0,则(x-3)•f(x)<0的解集是______.
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答案和解析
∵f(x)是奇函数,又f(-2)=0,
∴f(-2)=-f(2)=0,即f(2)=0,
∵(x-3)•f(x)<0,
∴(1)当x>3时,f(x)<0,
由于f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数,
∴x>3时,f(x)<0成立;
(2)当x<3时,有f(x)>0,
由于f(x)是R上的奇函数,故f(0)=0,
又f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数,
①当0<x<2时,f(x)>0,当2<x<3时,f(x)<0,
∴当0<x<2时,有(x-3)•f(x)<0;
②当x<0时,由奇函数的性质得,f(x)在(-∞,0)内是减函数,
又f(-2)=0,当x<-2时,f(x)>0;当-2<x<0时,f(x)<0.
∴当x<-2时,有(x-3)•f(x)<0.
综上可得,(x-3)•f(x)<0的解集是(-∞,-2)∪(0,2)∪(3,+∞).
故答案为:(-∞,-2)∪(0,2)∪(3,+∞).
∴f(-2)=-f(2)=0,即f(2)=0,
∵(x-3)•f(x)<0,
∴(1)当x>3时,f(x)<0,
由于f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数,
∴x>3时,f(x)<0成立;
(2)当x<3时,有f(x)>0,
由于f(x)是R上的奇函数,故f(0)=0,
又f(2)=0,f(x)在(0,+∞)内是减函数,
①当0<x<2时,f(x)>0,当2<x<3时,f(x)<0,
∴当0<x<2时,有(x-3)•f(x)<0;
②当x<0时,由奇函数的性质得,f(x)在(-∞,0)内是减函数,
又f(-2)=0,当x<-2时,f(x)>0;当-2<x<0时,f(x)<0.
∴当x<-2时,有(x-3)•f(x)<0.
综上可得,(x-3)•f(x)<0的解集是(-∞,-2)∪(0,2)∪(3,+∞).
故答案为:(-∞,-2)∪(0,2)∪(3,+∞).
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