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已知圆C经过A(0,1),B(4,a)(a∈R)两点.(1)当a=3,并且AB是圆C的直径,求此时圆C的标准方程;(2)当a=1时,圆C与x轴相切,求此时圆C的方程;(3)如果AB是圆C的直径,证明:无论
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已知圆C经过A(0,1),B(4,a)(a∈R)两点.
(1)当a=3,并且AB是圆C的直径,求此时圆C的标准方程;
(2)当a=1时,圆C与x轴相切,求此时圆C的方程;
(3)如果AB是圆C的直径,证明:无论a取何实数,圆C恒经过除A外的另一个定点,求出这个定点坐标.
(1)当a=3,并且AB是圆C的直径,求此时圆C的标准方程;
(2)当a=1时,圆C与x轴相切,求此时圆C的方程;
(3)如果AB是圆C的直径,证明:无论a取何实数,圆C恒经过除A外的另一个定点,求出这个定点坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意可得,圆心为线段AB的中点,故圆心坐标C(2,2),半径等于
AB=
,故所求的圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.
(2)a=1时,圆过A(0,1),B(4,1),设圆的半径为r,则由圆C与x轴相切可得圆心为C(2,r).
r2=4+(r-1)2,r=
,故所求的圆的方程为 (x−2)2+(y−
)2=
.
(3)∵AB是圆C的直径,设圆心C的坐标为 (x,y),由于直径对的圆周角等于90°,故有
•
=0,即 (x,y-1)•(x-4,y-a)=0,
故动圆的方程为:x(x-4)+(y-1)(y-a)=0,则当x=4,y=1时,(x,y-1)•(x-4,y-a)=0恒成立,
故圆C经过定点(4,1).
1 |
2 |
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(2)a=1时,圆过A(0,1),B(4,1),设圆的半径为r,则由圆C与x轴相切可得圆心为C(2,r).
r2=4+(r-1)2,r=
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(3)∵AB是圆C的直径,设圆心C的坐标为 (x,y),由于直径对的圆周角等于90°,故有
CA |
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故动圆的方程为:x(x-4)+(y-1)(y-a)=0,则当x=4,y=1时,(x,y-1)•(x-4,y-a)=0恒成立,
故圆C经过定点(4,1).
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