四边形（对角线互相垂直）,求证其对角线交点到四边的垂足,和四边的中点,八点共圆……四边形对角互补

Question

四边形（对角线互相垂直）,求证其对角线交点到四边的垂足,和四边的中点,八点共圆……
四边形对角互补

Answer 1

这个题目不难,说一下思路.假设四边形为ABCD,P是AC、BD的交点
1) 显然四边形的中点构成一个平行四边形,结合AC⊥BD可知还是矩形,即四边形的中点四点共圆,并且它们的对角线交点O是圆心
2) 假设AB的中点是M,CD的中点是N,PX⊥CD于X,容易证明M、P、X三点共线（不展开说明,需要利用ABCD四点共圆和AC⊥BD这两个条件）.于是MX⊥CD,又MN是圆O的直径,所以X在圆O上
3) 同理可以证明P在DA、AB、BC上的垂直也在圆O上,于是八点共圆