如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DFA=45，AN=2

Question

如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．

（1）求证：CA=CN；
（2）连接DF，若cos∠DFA=(4)/(5)，AN=2√(10)，求圆O的直径的长度．

Answer 1

（1）证明：连接OF，则∠OAF=∠OFA，如图所示．
∵ME与⊙O相切，
∴OF⊥ME．
∵CD⊥AB，
∴∠M+∠FOH=180°．
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF，∠FOH+∠BOF=180°，
∴∠M=2∠OAF．
∵ME∥AC，
∴∠M=∠C=2∠OAF．
∵CD⊥AB，
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°，
∴∠ANC=90°-∠OAF，∠BAC=90°-∠C=90°-2∠OAF，
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°-∠OAF=∠ANC，
∴CA=CN．

（2）连接OC，如图2所示．
∵cos∠DFA=(4)/(5)，∠DFA=∠ACH，
∴(CH)/(AC)=(4)/(5)．
设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，
∵CA=CN，
∴NH=a，
∴AN=√(AH2+NH2)=√((3a)2+a2)=√(10)a=2√(10)，
∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．
设圆的半径为r，则OH=r-6，
在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r-6，
∴OC²=CH²+OH²，r²=8²+（r-6）²，
解得：r=(25)/(3)，
∴圆O的直径的长度为2r=(50)/(3)．