（2010•沈阳一模）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．（Ⅰ）求出该几何体的体积；（Ⅱ）D是棱A1C1上的一点，若使直线BC1

Question

（2010•沈阳一模）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形．

（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）D是棱A₁C₁上的一点，若使直线BC₁∥平面AB₁D，试确定点D的位置，并证明你的结论；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，求证：平面AB₁D⊥平面AA₁D．

Answer 1

由三视图可知该几何体为正三棱柱，底面是高为√(3)的正三角形，三棱柱的高h=3，（2分）
（Ⅰ）底面是高为√(3)的正三角形，易知底面边长为2，
所以底面面积s＝(1)/(2)×2×√(3)＝√(3)，
所求体积V＝sh＝3√(3)．（4分）
（Ⅱ）连接A₁B，且A₁B∩AB₁=O，
∵正三棱柱侧面是矩形，
∴点O是棱A₁B的中点，（5分）
若BC₁∥平面AB₁D，

连接DO，BC₁⊂平面A₁BC₁，平面AB₁D∩平面A₁BC₁=DO，
∴BC₁∥DO，
∴DO是△A₁BC₁的中位线，
∴D为A₁C₁的中点．
即D为A₁C₁的中点时，BC₁∥平面AB₁D．（8分）
（Ⅲ）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，三角形A₁B₁C₁为正三角形，
∴B₁D⊥A₁C₁．，
又由三棱柱性质知平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，
且平面A₁B₁C₁∩平面ACC₁A₁=A₁C₁，B₁D⊂平面A₁B₁C₁，
∴B₁D⊥平面AA₁D，（10分）又B₁D⊂平面AB₁D，
∴平面AB₁D⊥平面AA₁D（12分）