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证明当x>0时,arctanx>x-1/3x^3.应该用极限和倒数求解,是么?
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证明当x>0时,arctanx>x-1/3x^3.应该用极限和倒数求解,是么?
▼优质解答
答案和解析
分析：x>0是不是可以为：x≥0,否则命题有误.
当x≥0时,设f(x)=arctanx+1/3x^3-x,
f'(x)=1/(1+x²)+x²-1=x^4/(1+x²)>0
∴f(x)=arctanx+1/3x^3-x在[0,+∞）为增函数
∴当x≥0时,f(x)=arctanx+1/3x^3-x>f(0)=0
故arctanx>x-1/3x^3
当x≥0时,设f(x)=arctanx+1/3x^3-x,
f'(x)=1/(1+x²)+x²-1=x^4/(1+x²)>0
∴f(x)=arctanx+1/3x^3-x在[0,+∞）为增函数
∴当x≥0时,f(x)=arctanx+1/3x^3-x>f(0)=0
故arctanx>x-1/3x^3
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