广义积分求解,设f(x)在[1,+∞)上可积,∫f(x)dx（上限+∞下限为1）收敛,且f（x）=4/(x^4)-2/(x^3)*∫f(x)dx(上限+∞,下限为1).求（1）∫f(x)dx(上限+∞,下限为1).（2）f(x)

Question

广义积分求解,
设f(x)在[1,+∞)上可积,∫f(x)dx（上限+∞下限为1）收敛,且f（x）=4/(x^4)-2/(x^3)*∫f(x)dx(上限+∞,下限为1).求（1）∫f(x)dx(上限+∞,下限为1).（2）f(x)

Answer 1

设积分（1到无穷）f(x)dx=a,则f(x)=4/x^4--2a/x^3,在[1,+无穷)上积分得
a=积分（1到无穷）f(x)dx=积分（1到无穷）(4/x^4--2a/x^3)dx=--4/(3x^3)+a/(x^2)|上限无穷下限1
=4/3--a,因此a=2/3.
f(x)=4/x^4-4/(3x^3).