已知a、b、c分别是△ABC的三边,且m为a边上的中线,关于x的方程b^2x^2+4cmx+(2m-a)^2=2a(a+c-2m)x①求证：方程总有两个实数根；②若这两个实数根相等,求证△ABC是直角三角形的,关于根与系数的关系

Question

已知a、b、c分别是△ABC的三边,且m为a边上的中线,关于x 的方程b^2x^2+4cmx+(2m-a)^2=2a(a+c-2m)x
①求证：方程总有两个实数根；②若这两个实数根相等,求证△ABC是直角三角形
的,关于根与系数的关系

Answer 1

方程b^2x^2+4cmx+(2m-a)^2=2a(a+c-2m)x可化为：
b^2x^2+(4cm-2a^2-2ac+4am)x+(2m-a)^2=0
b^2x^2+(4m-2a)(a+c)x+(2m-a)^2=0.由题知：2m＞a,所以2m-a＞0,(2m-a)^2＞0,令K＝2m-a,则B^2－4AC＝4K^2（a+c)^2－4K^2b^2＝4K^2〔（a+c)^2－b^2〕,因为K^2＞0,所以4K^2＞0,（a+c)^2－b^2＝(a+c+b)(a+c-b),因为a+c+b＞0,a+c-b>0,所以(a+c+b)(a+c-b)＞0,所以4K^2〔（a+c)^2－b^2〕＞0,所以B^2－4AC＞0,所以方程总有两个实数根
若这两个实数根相等,则B^2－4AC＝0,即4K^2〔（a+c)^2－b^2〕＝0,(2m-a)^2(a+c+b)(a+c-b)＝0,因为(a+c+b)(a+c-b)＞0,所以(2m-a)^2＝0,2m-a＝0,2m=a,令线段m为AD,则BD＝DC＝AD,所以∠ABD＝∠BAD,∠C＝∠DAC,又因为∠ABD＋∠BAD＋∠C＋∠DAC＝180°所以∠BAD＋∠DAC＝∠ABD＋∠C＝180°／2＝90°,∠BAD＋∠DAC＝∠BAC＝90°,所以△ABC是直角三角形