已知关于x的二次方程x平方+n平方x+n-1=0（n为自然数,且n≥2）,当n=2时,此方程的两根记作a2,b2；当n=3时,此方程的两根记作a3,b3；……；当n=2010时,此方程两根记作a2010,b2010.则[1/（a2—1）（b2—1）]+

Question

已知关于x的二次方程x平方+n平方x+n-1=0（n为自然数,且n≥2）,当n=2时,此方程的两根记作a2,b2；
当n=3时,此方程的两根记作a3,b3；……；当n=2010时,此方程两根记作a2010,b2010.则[1/（a2—1）（b2—1）]+[1/(a3—1）（b3—1）]+……+[1/(a2011—1）（b2011—1)]的值=?

Answer 1

n＝k(2≤k≤2011)时,ak、bk是方程：x^2＋k^2x＋k－1＝0的两个根,则有：
ak＋bk＝－k^2,ak·bk＝k－1
∴(ak－1)(bk－1)
＝ak·bk－(ak＋bk)＋1
＝k－1＋k^2＋1
＝k(k＋1)
∴1/[(ak－1)(bk－1)]＝1/[k(k＋1)]＝1/k－1/(k＋1)
∴[1/(a2－1)(b2－1)]＋[1/(a3－1)(b3－1)]＋…＋[1/(a2011－1)(b2011－1)]
＝1/2－1/3＋1/3－1/4＋…＋1/2011－1/2012
＝1/2－1/2012
＝1005/2012