设x∈[2，8]时，函数f（x）=12loga（ax）•loga（a2x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-18，求a的值．

Question

设x∈[2，8]时，函数f（x）=(1)/(2)log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0，且a≠1）的最大值是1，最小值是-(1)/(8)，求a的值．

Answer 1

f（x）=(1)/(2)log_a（ax）•log_a（a²x）
=(1)/(2)（1+log_ax）•（2+log_ax）
=(1)/(2)(logax)2+(3)/(2)logax+1
=(1)/(2)（log_ax+(3)/(2)）²-(1)/(8)．
设t=log_ax，则f（x）=(1)/(2)（t+(3)/(2)）²-(1)/(8)，
∵x∈[2，8]，函数f（x）的最大值是1，最小值是-(1)/(8)，
∴log_a8≤log_ax≤log_a2＜0，0＜a＜1，log_a8≤t≤log_a2，
∴当x=8时，f（x）取最大值f（8）=(1)/(2)（log_a8+(3)/(2)）²-(1)/(8)=1，
解得log_a8=-3或log_a8=0（舍），
∴a=(1)/(2)．