已知双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的两条渐进线的斜率之积为-3，左右两支上分别由动点A和B．（1）设直线AB的斜率为1，经过点D（0，5a），且AD=λDB，求实数λ的值．（2）设点A关于x轴的对

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）的两条渐进线的斜率之积为-3，左右两支上分别由动点A和B．
（1）设直线AB的斜率为1，经过点D（0，5a），且

AD

=λ

DB

，求实数λ的值．
（2）设点A关于x轴的对称点为M．若直线AB，MB分别与x轴相交于点P，Q，O为坐标原点，证明|OP|•|OQ|=a²．

Answer 1

（1）设直线AB的方程为y=x+5a，
由渐近线方程为y=±(b)/(a)x，
可得b²=3a²，
双曲线的方程为3x²-y²=3a²，
代入渐近线方程可得，x²-5ax-14a²=0，
解得x=7a或-2a，
即有A的横坐标为-2a，B的横坐标为7a，
则λ=(0-(-2a))/(7a-0)=(2)/(7)；
（2）证明：设A（m，n），B（s，t），M（m，-n），
P（p，0），Q（q，0），
由A，B，P三点共线可得，(n-t)/(m-s)=(-t)/(p-s)，
即有p=(ns-mt)/(n-t)；
由B，M，Q共线可得，(t+n)/(s-m)=(-t)/(q-s)，
即有q=(mt+ns)/(n+t)，
则有|OP|•|OQ|=|(ns-mt)/(n-t)•(mt+ns)/(n+t)|
=|(n2s2-m2t2)/(n2-t2)|，
由A，B在双曲线上，可得m²=a²+(1)/(3)n²，s²=a²+(1)/(3)t²，
代入上式，可得|(n2a2-t2a2)/(n2-t2)|=a²．
故|OP|•|OQ|=a²．