已知双曲线x2a2−y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若|PF1|2|PF2|的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（）A.（0，+∞）B.（1，2]C.(1，3]D.（1

Question

已知双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点，若(|PF1|2)/(|PF2|)的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（　　）
A. （0，+∞）
B. （1，2]
C. (1，√(3)]
D. （1，3]

Answer 1

∵双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，P为双曲线右支一的任意一点
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴(|PF1|2)/(|PF2|)=((2a+|PF2|)2)/(|PF2|)=(4a2)/(|PF2|)+4a+|PF2| ≥8a，
当且仅当(4a2)/(|PF2|)＝|PF2|，即|PF₂|=2a时取得等号
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a
∵|PF₁|-|PF₂|=2a＜2c，|PF₁|+|PF₂|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故选D．