若a^2*(b-c)+b^2*(c-a)+c^2*(a-b)=0,求证：a、b、c三数中至少有两个数相等

Question

若a^2*(b-c)+b^2*(c-a)+c^2*(a-b)=0,求证：a、b、c三数中至少有两个数相等

Answer 1

若a^2*(b-c)+b^2*(c-a)+c^2*(a-b)=0,求证：a、b、c三数中至少有两个数相等
答案是这样地：
(a^2)*(b-c)+(b^2)(c-a)+(c^2)(a-b)
=a^2b-a^2c+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b
=ab(a-b)+bc(b-c)+ac(c-a)
=b(a^2-ab+cb-c^2)+ac(c-a)
=b[(a+c)(a-c)-b(a-c)]+ac(c-a)
=b(a-c)(a+b-c)-ac(a-c)
=(a-c)(ab+b^2-bc-ac)
=(a-c)(a-b)(b-c)=0
所以说a-c=0或a-b=0或b-c=0
即：a,b,c三个数中至少有两个数相等.