已知双曲线的两个焦点分别为F1（-4,0）F2（4,0）,P为双曲线上一点且角F1PF2=60度三角形F1PF2面积为12根3（1）求双曲线的方程（2)若直线y=kx+1与双曲线的同一分支有两个交点,求k的取值范围k

Question

已知双曲线的两个焦点分别为F1（ -4,0） F2 （4,0）,P为双曲线上一点 且角F1PF2=60度 三角形F1PF2面积为12根3
（1）求双曲线的方程
（2)若直线y=kx+1与双曲线的同一分支有两个交点,求k的取值范围
k的取值范围是（-根13/2,-根3）并（根3,根13/2）
我求出来的是 （-根13/2,根13/2）

Answer 1

1、c=4,设双曲线方程为：x^2/a^2-y^2/(16-a^2)=1,
设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,
根据双曲线定义,m-n=2a,(1)
在△PF1F2中,根据余弦定理,
|F1F2|^2=m^2+n^2-2mncos60°,
4c^2=(m-n)^2+2mn-mn=4a^2+mn,
4a^2+mn=4*4^2=64,(2)
S△PF1F2=（1/2）mnsin60°=√3mn/4=12√3,
mn=48,
代入（2）式,
4a^2+48=64,
a^2=4,a=2,
b^2=c^2-a^2=16-4=12,
b=2√3,
渐近线y=±√3x,
∴双曲线方程为： x^2/4-y^2/12=1.
2、直线y=kx+1经过固定点Q（0,1）,
要满足与双曲线的同一分支有两个交点,则它必须介于经过Q（0,1）和一分支的切线和经过（0,1）且与一渐近线的平行线之间,对于左支,k大于经过Q点切线斜率则与左支不相交,小于渐近线正斜率则只有一交点；对于右支,直线和X轴成钝角,k是负值,k若小于经过Q点切线斜率则与右支不相交（倾角减小向直角趋近）,直至接近与负斜率的渐近线平行,此时在一分支上都有二交点.
首先求出在分支上有一个公共点,即二次方程判别式△=0,此时相切,
y=kx+1,代入双曲线方程,
x^2/4-(kx+1)^2/12=1,
(3-k^2)x^2-2kx-13=0,
△=4k^2+52(3-k^2)>0,
k^2<13/4,
-√13/2∴对于左支,√3对于右支,-√13/2如图所示,在很窄的范围内,如绿线表示切线和渐近线平行线间夹角很小,1.732-1.8027