设F是双曲线x2a2−y2b2＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交l1，l2于A、B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量BF与FA同向，则双曲线离心率e的大小为5252．

Question

设F是双曲线(x2)/(a2)−(y2)/(b2)＝1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l₁，l₂，过F作直线l₁的垂线，分别交l₁，l₂于A、B两点．若OA，AB，OB成等差数列，且向量

BF

与

FA

同向，则双曲线离心率e的大小为

(√(5))/(2)

(√(5))/(2)

．

Answer 1

不妨设OA的倾斜角为锐角
∵向量

BF

与

FA

同向，，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，(π)/(4)），
∴渐近线l₁斜率为：k=(b)/(a)＜1，∴(b2)/(a2)＝(c2−a2)/(a2)＝e2−1＜1，∴1＜e²＜2
∴|AB|²=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|）
∴|OB|-|OA|=(1)/(2)|AB|
∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列
∴|OA|+|OB|=2|AB|
∴|OA|=(3)/(4)|AB|
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=(4)/(3)
由对称性可知：OA的斜率为k=tan（(π)/(2)-(1)/(2)∠AOB）
∴(2k)/(1−k2)=(4)/(3)，∴2k²+3k-2=0，∴k=(1)/(2)（k=-2舍去）；
∴(b)/(a)=(1)/(2)，∴(b2)/(a2)＝(c2−a2)/(a2)＝e2−1＝(1)/(4)
∴e²=

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