已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2-y2b2=1的左、右焦点，若存在过F1的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF2=∠BF2F1，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A.（3，+∞）B.（1，

Question

已知F₁，F₂分别为双曲线C：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1的左、右焦点，若存在过F₁的直线分别交双曲线C的左、右支于A，B两点，使得∠BAF₂=∠BF₂F₁，则双曲线C的离心率e的取值范围是（　　）

A. （3，+∞）

B. （1，2+

√(5)）

C. （3，2+

√(5)）

D. （1，3）

Answer 1

在△BAF₂和△BF₂F₁中，
由∠BAF₂=∠BF₂F₁，∠ABF₂=∠F₂BF₁，
可得△BAF₂∽△BF₂F₁，
即有(BF2)/(BF1)=(BA)/(BF2)=(F2A)/(F1F2)，
即为(BF2-BA)/(BF1-BF2)=(BF2-BA)/(2a)=(F2A)/(2c)，
(AF2)/(BF2-BA)=(c)/(a)=e>1，
可得AF₂=e（BF₂-BA）>c+a，即有BF₂>BA，
又BA>2a，
即BF₂>2a，
BF₂取最小值c-a时，BF₂也要大于BA，
可得2a<c-a，即c>3a，
即有e=(c)/(a)>3．
当AF₁与x轴重合，即有(c+a)/(c-3a)=(c)/(a)，
e=(c)/(a)，可得e²-4e-1=0，解得e=2+√(5)，
即有3<e<2+√(5)．
故选：C．