在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（1）求d，an；（2）若d＜0，求{|an|}的前n项和Sn．

Question

在公差为d的等差数列{a_n}中，已知a₁=10，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列．
（1）求d，a_n；
（2）若d＜0，求{|a_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}为公差为d的等差数列，且a₁，2a₂+2，5a₃成等比数列，
∴(2a2+2)2=a₁•（5a₃），即(2a1+2d+2)2=a₁•[5（a₁+2d）]，a₁=10，
∴4（11+d）²=500+100d，
∴d²-3d-4=0，
∴d=4或d=-1，
∴a_n=10+（n-1）×（-1）=11-n或a_n=10+（n-1）×4=4n+6．
（2）∵a_n=11-n，
∴当0＜n≤11时，a_n≥0，此时|a_n|=a_n，
S_n=((a1+an)×n)/(2)=-(1)/(2)n²+(21)/(2)n，（0＜n≤11，n∈N^*）；
当n＞11时，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
∴S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|
=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-a₁₃-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2S₁₁
=(1)/(2)n²-(21)/(2)n+2×55
=(1)/(2)n²-(21)/(2)n+110．
∴S_n=

−(1)/(2)n2+(21)/(2)n，(0＜n≤11)

(1)/(2)n2−(21)/(2)n+110，(n＞11)

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