某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．（Ⅰ）求

Question

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值a_n的表达式；
（Ⅱ）设An＝(a1+a2+…+an)/(n)，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．

Answer 1

（I）当n＜6时，数列{a_n}是首项为120，公差为-10的等差数列
a_n=120-10（n-1）=130-10n
当n≥6时，数列{a_n}是以a₆为首项，公比为(3)/(4)的等比数列，又a₆=70
所以an＝70×((3)/(4))n−6
因此，第n年初，M的价值a_n的表达式为an＝

130−10n(n≤6)

70× ((3)/(4))n−6(n≥7)

（II）设S_n表示数列{a_n}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，S_n=120n-5n（n-1），A_n=120-5（n-1）=125-5n
当n≥7时，由于S₆=570故
S_n=S₆+（a₇+a₈+…+a_n）=570+(70×(3)/(4)×[1−((3)/(4))n−6])/(1−(3)/(4))=780−210×((3)/(4))n−6An＝(780−210×((3)/(4))n−6)/(n)
因为{a_n}是递减数列，
所以{A_n}是递减数列，
又A8＝(780−210×((3)/(4))2)/(8)＝82(47)/(64)＞80
A9＝(780−210×((3)/(4))3)/(9)＝76(79)/(96)＜80
所以须在第9年初对M更新．