如图在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求证：（1）BE=AD；（2）BF=2AF．

Question

如图在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求证：
（1）BE=AD；
（2）BF=2AF．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，AB=AC，
∵在△ABE和△CAD中

AB＝AC

∠BAE＝∠ACD

AE＝CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD；

（2）过B作AD的垂线，垂足为K，如图，
∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD，
∵∠ABE+∠CBE=∠BAD+∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC=90°，
∴∠FBK=30°，
∴FK=(1)/(2)BF，
∵在△ABK和△BCF中

∠BAK＝∠CBF

∠AKB＝∠BFC

AB＝BC

，
∴△ABK≌△BCF（AAS），
∴AK=BF，即AF+FK=BF，
∴AF+(1)/(2)BF=BF，
∴BF=2AF．