已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．

Question

已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．
（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；
（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．     

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC=∠EDF=60°，
∴△ABC、△DEF为等边三角形，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ECA=60°，
在△BCE和△ACD中

BC=AC

∠BCE=∠ACD

CE=CD

∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD=BE，
∴AE+AD=AE+BE=AB=AF；

（2）在FA上截取FM=AE，连接DM，
∵∠BAC=∠EDF，
∴∠AED=∠MFD，
在△AED和△MFD中

AE=MF

∠AKD=∠MFD

KD=FD

∴△AED≌△MFD（SAS），
∴DA=DM=AB=AC，∠ADE=∠MDF，
∴∠ADE+∠EDM=∠MDF+∠EDM，
即∠ADM=∠EDF=∠BAC，
在△ABC和△DAM中，

AB=DA

∠BAC=∠ADM

AC=DM

，
∴△ABC≌△DAM（SAS），
∴AM=BC，
∴AE+BC=FM+AM=AF．
即AF=AE+BC．