如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是BC的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）求AE的长．

Question

如图，已知⊙O的直径AB=12，弦AC=10，D是

BC

的中点，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵D为

BC

的中点，
∴

BD

=

CD

，
∴∠BOD=∠BAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴OD⊥DE，
则DE为圆O的切线；

（2） 过点O作OF⊥AC，
∵AC=10，
∴AF=CF=(1)/(2)AC=5，
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED为矩形，
∴FE=OD=(1)/(2)AB，
∵AB=12，
∴FE=6，
则AE=AF+FE=5+6=11．