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阅读:如图1,在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=4,AC=5,求AB的长.小明的思路:如图2,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,由3∠A+∠B=180&
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阅读:如图1,在△ABC中,3∠A+∠B=180°,BC=4,AC=5,求AB的长.
小明的思路:
如图2,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形,依据已知条件可得AE和AB的长.
解决下列问题:
(1)图2中,AE=___,AB=___;
(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c.
①如图3,当3∠A+2∠B=180°时,用含a,c式子表示b;(要求写解答过程)
②当3∠A+4∠B=180°,b=2,c=3时,可得a=___.
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小明的思路:
如图2,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,易得∠A=∠D,△ABD为等腰三角形,由3∠A+∠B=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,易得∠BCA=2∠A,△BCD为等腰三角形,依据已知条件可得AE和AB的长.
解决下列问题:
(1)图2中,AE=___,AB=___;
(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c.
①如图3,当3∠A+2∠B=180°时,用含a,c式子表示b;(要求写解答过程)
②当3∠A+4∠B=180°,b=2,c=3时,可得a=___.
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▼优质解答
答案和解析
(1)如图2,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,则BE是中垂线,
故AB=BD,∠A=∠D.
∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴∠BCA=2∠A,
又∵∠BCA=∠D+∠CBD,
∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A,则∠CBD=∠A,
∴DC=BC=4,
∴AD=DC+AC=4+5=9,
∴AE=
AD=4.5,
∴EC=
AD-CD=4.5-4=0.5.
∴在直角△BCE和直角△AEB中,利用勾股定理得到:
BC2-CE2=AB2-AE2,即42-0.52=AB2-4.52,
解得 AB=6.
故答案是:4.5;6;
(2)作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,则BE是边AD的中垂线,
故AB=BD,∠A=∠D.
①∵3∠A+2∠B=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴2∠A+∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠D+∠DBC,
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC,
∵∠A=∠D,
∴∠A+∠ABC=∠DBC,BD=AB=c,
即∠DCB=∠DBC,
∴DB=DC=c,
设EC=x,
∴DE=AE=
∴EC=AE-AC=
-b=
,
∵BE2=BC2-EC2,BE2=AB2-AE2,
∴a2-(
)2=c2-(
)2,
解得,b=
.
②如图3,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得AB=AD,连接BD,
故AB=AD=3,∠ABD=∠D.
∵3∠A+4∠ABC=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2019-04/14/1555256865-5631.jpg)
∴2∠A+2∠ABC=2∠CBD,
∴∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD,
∴BD=CD=AD-AC=1,
∴在直角△BDE和直角△AEB中,利用勾股定理得到:
BD2-DE2=AB2-AE2,即12-(1-CE)2=32-(2+CE)2,
解得 CE=
,
∴BE=
,
∴a=
=
,
故答案是:
.
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故AB=BD,∠A=∠D.
∵3∠A+∠ABC=180°和∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴∠BCA=2∠A,
又∵∠BCA=∠D+∠CBD,
∴∠BCA=∠A+∠CBD=2∠A,则∠CBD=∠A,
∴DC=BC=4,
∴AD=DC+AC=4+5=9,
∴AE=
1 |
2 |
∴EC=
1 |
2 |
∴在直角△BCE和直角△AEB中,利用勾股定理得到:
BC2-CE2=AB2-AE2,即42-0.52=AB2-4.52,
解得 AB=6.
故答案是:4.5;6;
(2)作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得DE=AE,连接BD,则BE是边AD的中垂线,
故AB=BD,∠A=∠D.
①∵3∠A+2∠B=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴2∠A+∠ABC=∠ACB,
∵∠ACB=∠D+∠DBC,
∴2∠A+∠ABC=∠D+∠DBC,
∵∠A=∠D,
∴∠A+∠ABC=∠DBC,BD=AB=c,
即∠DCB=∠DBC,
∴DB=DC=c,
设EC=x,
∴DE=AE=
b+c |
2 |
∴EC=AE-AC=
b+c |
2 |
c-b |
2 |
∵BE2=BC2-EC2,BE2=AB2-AE2,
∴a2-(
c-b |
2 |
b+c |
2 |
解得,b=
c2-a2 |
c |
②如图3,作BE⊥AC于点E,在AC的延长线上取点D,使得AB=AD,连接BD,
故AB=AD=3,∠ABD=∠D.
∵3∠A+4∠ABC=180°,∠A+∠ABC+∠BCA=180°,
∴2∠A+3∠ABC=∠ACB=∠D+∠CBD=∠ABC+∠CBD+∠CBD,
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∴2∠A+2∠ABC=2∠CBD,
∴∠A+∠ABC=∠CBD=∠BCD,
∴BD=CD=AD-AC=1,
∴在直角△BDE和直角△AEB中,利用勾股定理得到:
BD2-DE2=AB2-AE2,即12-(1-CE)2=32-(2+CE)2,
解得 CE=
5 |
6 |
∴BE=
| ||
6 |
∴a=
BE2+CE2 |
| ||
3 |
故答案是:
| ||
3 |
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