（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=513．探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=，AC=，△ABC的面积S△ABC=；拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A

Question

（2012•河北）如图1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=(5)/(13)．
探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH=______，AC=______，△ABC的面积S_△ABC=______；
拓展：如图2，点D在AC上（可与点A，C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E，F，设BD=x，AE=m，CF=n（当点D与点A重合时，我们认为S_△ABD=0）
（1）用含x，m，n的代数式表示S_△ABD及S_△CBD；
（2）求（m+n）与x的函数关系式，并求（m+n）的最大值和最小值；
（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．
发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．

Answer 1

探究：在直角△ABH中，∵∠AHB=90°，AB=13，cos∠ABC=(5)/(13)，
∴BH=AB•cos∠ABC=5，AH=12，
∴CH=BC-BH=9．
在△ACH中，∵∠AHC=90°，AH=12，CH=9，
∴AC=15，
∴S_△ABC=(1)/(2)BC•AH=(1)/(2)×14×12=84．
故答案为12，15，84；

拓展  （1）由三角形的面积公式，得S_△ABD=(1)/(2)BD•AE=(1)/(2)xm，S_△CBD=(1)/(2)BD•CF=(1)/(2)xn；
（2）由（1）得m=(2S△ABD)/(x)，n=(2S△CBD)/(x)，
∴m+n=(2S△ABD)/(x)+(2S△CBD)/(x)=(168)/(x)，
∵AC边上的高为(2S△ABC)/(15)=(2×84)/(15)=(56)/(5)，
∴x的取值范围是(56)/(5)≤x≤14．
∵（m+n）随x的增大而减小，
∴当x=(56)/(5)时，（m+n）的最大值为15；
当x=14时，（m+n）的最小值为12；
（3）x的取值范围是x=(56)/(5)或13＜x≤14．
发现：∵AC＞BC＞AB，
∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，AC边上的高的长为(56)/(5)．