已知a,b∈R,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

Question

已知a,b∈R,求证:(a^2+b^2)(c^2+d^2)≥(ac+bd)^2

Answer 1

证明：∵（a²＋b²）（c²＋d²）－（ac＋bd）²
＝a²c²＋a²d²＋b²c²＋b²d²－a²c²－b²d²－2abcd
＝a²d²－2abcd＋b²c²
＝（ad－bc）²≥0
即：（a²＋b²）（c²＋d²）－（ac＋bd）²≥0
∴（a²＋b²）（c²＋d²）≥（ac＋bd）²
证毕!