已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：AC•AD=AB•AE；（2）如果BD是O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Question

已知在△ABC中，∠B=90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．

（1）求证：AC•AD=AB•AE；
（2）如果BD是 O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC=2时，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠ABC，
∵∠DAE=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴(AD)/(AB)=(AE)/(AC)，
∴AC•AD=AB•AE；
（2） 连接OD，
∵BD是 O的切线，
∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE=BE=OD，
∴OB=2OD，
∴∠OBD=30°，
同理∠BAC=30°，
在RT△ABC中，AC=2BC=2×2=4．