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已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.(1)求证:AC•AD=AB•AE;(2)如果BD是O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
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已知在△ABC中,∠B=90°,以AB上的一点O为圆心,以OA为半径的圆交AC于点D,交AB于点E.
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(1)求证:AC•AD=AB•AE;
(2)如果BD是 O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
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(1)求证:AC•AD=AB•AE;
(2)如果BD是 O的切线,D是切点,E是OB的中点,当BC=2时,求AC的长.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接DE,
∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠ABC,
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
∴
=
,
∴AC•AD=AB•AE;
(2) 连接OD,
∵BD是 O的切线,
∴OD⊥BD,
在RT△OBD中,OE=BE=OD,
∴OB=2OD,
∴∠OBD=30°,
同理∠BAC=30°,
在RT△ABC中,AC=2BC=2×2=4.
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∵AE是直径,
∴∠ADE=90°,
∴∠ADE=∠ABC,
∵∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC,
∴
AD |
AB |
AE |
AC |
∴AC•AD=AB•AE;
(2) 连接OD,
∵BD是 O的切线,
∴OD⊥BD,
在RT△OBD中,OE=BE=OD,
∴OB=2OD,
∴∠OBD=30°,
同理∠BAC=30°,
在RT△ABC中,AC=2BC=2×2=4.
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