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如图,在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中,已知AD∥BC,∠ASC=60°,AD=DC=2,SA=SC=SD=2.(Ⅰ)求证:AC⊥SD;(Ⅱ)求三棱锥B-SAD的体积.

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如图,在底面为梯形的四棱锥S-ABCD中,已知AD∥BC,∠ASC=60°,AD=DC=
2
,SA=SC=SD=2.
作业搜
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)求三棱锥B-SAD的体积.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)作业搜取AC中点O,连结OD,SO,
∵SA=SC,∴SO⊥AC,
∵AD=CD,∴OD⊥AC,
又∵OS⊂平面SOD,OD⊂平面SOD,OS∩OD=O,
∴AC⊥平面SOD,∵SD⊂平面SOD,
∴AC⊥SD.
(2)∵SA=SC=2,∠ASC=60°,∴△ASC是等边三角形,∴AC=2,OS=
3

∵AD=CD=
2
,∴AD2+CD2=AC2,∴∠ADC=90°,OD=
1
2
AC=1.
∵SD=2,∴SO2+OD2=SD2,∴SO⊥OD,
又∵SO⊥AC,AC⊂平面ABCD,OD⊂平面ABCD,AC∩OD=O,
∴SO⊥平面ABCD,
∴V棱锥B-SAD=V棱锥S-ABD=
1
3
S△ABD•SO=
1
3
×
1
2
×AD×CD×SO=
3
3
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