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三角形ABC中,BC=6,AB=2AC,P为BC延长线上一点,且CP=2,(1)当AB=8时,求三角形ABC的面积;(2)当AB变化时,求证:AP的值为定值,并求出这个定值.
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0e2442a7d933c8953d5956cad21373f082020058.jpg)
(1)当AB=8时,求三角形ABC的面积;
(2)当AB变化时,求证:AP的值为定值,并求出这个定值.
▼优质解答
答案和解析
(1)过C作CD⊥AB,交AD于D,
设BD=x,则AD=8-x,又BC=6,AB=8,AC=
AB=4,
在Rt△BDC中,根据勾股定理得:x2+CD2=62①,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得:(8-x)2+CD2=42②,
联立①②,消去CD2得:x2-36=(8-x)2-16,
即16x=84,解得:x=
,
把x=
代入①得:CD=
=
,
则S△ABC=
AB•CD=
×8×
=3
;
(2)过A作AE⊥CP,交CP于E,如图所示:
设CE=x,AE=y,AC=a,AB=2a,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f0820250d0468e48fbfbedaa641bc4.jpg)
在Rt△ACE中,根据勾股定理得:x2+y2=a2①,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:(6+x)2+y2=(2a)2②,
①-②得:-4x=12-a2③,
在Rt△AEP中,根据勾股定理得:
AP2=AE2+EP2=y2+(2-x)2=x2+y2-4x+4,
将①和③代入得:AP2=a2+12-a2+4=16,
开方得:AP=4,
则AP的值为定值,且定值为4.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/43a7d933c895d143ab34339270f082025baf07c4.jpg)
设BD=x,则AD=8-x,又BC=6,AB=8,AC=
1 |
2 |
在Rt△BDC中,根据勾股定理得:x2+CD2=62①,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得:(8-x)2+CD2=42②,
联立①②,消去CD2得:x2-36=(8-x)2-16,
即16x=84,解得:x=
21 |
4 |
把x=
21 |
4 |
36−
|
3
| ||
4 |
则S△ABC=
1 |
2 |
1 |
2 |
3
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4 |
15 |
(2)过A作AE⊥CP,交CP于E,如图所示:
设CE=x,AE=y,AC=a,AB=2a,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ac4bd11373f0820250d0468e48fbfbedaa641bc4.jpg)
在Rt△ACE中,根据勾股定理得:x2+y2=a2①,
在Rt△ABE中,根据勾股定理得:(6+x)2+y2=(2a)2②,
①-②得:-4x=12-a2③,
在Rt△AEP中,根据勾股定理得:
AP2=AE2+EP2=y2+(2-x)2=x2+y2-4x+4,
将①和③代入得:AP2=a2+12-a2+4=16,
开方得:AP=4,
则AP的值为定值,且定值为4.
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