如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=12，求AC的长．

Question

如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE=(1)/(2)，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴▱ABEF是菱形；

（2） 作DH⊥AC于点H，
∵sin∠CBE=(1)/(2)，
∴∠CBE=30°，
∵BE∥AC，
∴∠1=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠2=∠1，
∴∠2=∠CBE=30°，
Rt△ADH中，AH=AD•cos∠2=4√(3)，
DH=AD•sin∠2=4，
∵四边形ABEF是菱形，
∴CD=AB=BE=5，
Rt△CDH中，CH=√(CD2-DH2)=3，
∴AC=AH+CH=4√(3)+3．