在正方形ABcD中,点P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交DP...在正方形ABcD中,点P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交DP于

Question

在正方形ABcD中,点P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交DP...
在正方形ABcD中,点P是AB的中点,连接DP,过点B作BE⊥DP交DP的延长线于点E,连接AE,过点A作AF⊥AE交DP于点F,连接BF.(1)若AE=2,求EF的长,(2)求证PF=EP EB

Answer 1

证明：（1）∵∠EAF=∠BAD∴∠EAB=∠FAD
∵∠PAD=∠BEP=90° ∠APD=∠BPE∴∠EBA=∠FDA
∵AB=AD∴⊿EAB≌⊿FAD∴AE=AF=2
(2)作AG⊥DP于G.
∵AP=BP∴⊿BEP≌⊿AFP∴BE=AF EP=GP ∠GAP=∠EBA=∠FDA
∵AE=AF ∠EAF=90°∴∠AEF=∠AFE=45°∴∠FAD﹢∠FDA=∠AFE=45°
∴∠EAB﹢∠GAP=∠FAD﹢∠FDA=45°
∴∠GAF=90°﹣(∠EAB+∠GAP)=45°＝∠AFE
∴AG=FG=BE
∵PF=PG﹢FG
∴PF=EP+BE