如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．（1）如图（1），若BC=6，设BP=x，AP=y．求y关于x的函数解析式并写出定义域；（2）如图（2），若点P在BC边上，求证：AP2+PB•PC=25；（3）如图（3）

Question

如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是射线BC上的点．
（1）如图（1），若BC=6，设BP=x，AP=y．求y关于x的函数解析式并写出定义域；
（2）如图（2），若点P在BC边上，求证：AP²+PB•PC=25；
（3）如图（3），当点P在BC延长线上，请直接写出AP²，PB，PC，AB²满足的数量关系．

Answer 1

（1）如图1，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC，
∴BH=HC=(1)/(2)BC=3，
在Rt△ABH中，AB=5，
∴AH=√(AB2-BH2)=4，
在Rt△AHP中，由勾股定理可得AP=√(AH2-HP2)，
∵BP=x，
∴HP=|x-3|
∴y=√(42+(x-3)2)（x≥0）；
（2）证明：
如图2，当点C在线段BC上时，则PC=BC-BP=6-x，

∴PB•PC=x（6-x）=6x-x²，
又由（1）可知AP=√(42+(x-3)2)，
∴AP²=4²+（x-3）²=x²-6x+25，
∴AP²+PB•PC=x²-6x+25+6x-x²=25
（3）如图3，当点P在线段BC的延长线上时，则有PC=PB-BC=x-6，

∴PB•PC=x（x-6）=x²-6x，
又AP²=x²-6x+25，
∴AP²-PB•PC=x²-6x+25-（x²-6x）=25，
∵AB=5，
∴AP²-PB•PC=AB²．