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在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想
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在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/267f9e2f07082838087616a5bb99a9014c08f10c.jpg)
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/267f9e2f07082838087616a5bb99a9014c08f10c.jpg)
(1)如图①,当∠DAB=120°,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC.
(2)如图②,当∠DAB=120°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
(3)如图③,当∠DAB=90°,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)在四边形ABCD中,
∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°.
又∵∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°.
∴AB=AD=
AC,
即AB+AD=AC.
(2)AB+AD=AC.
证明如下:如图②,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠D=180°,
∠ABC+∠CBF=180°,
∴∠CBF=∠D.
又∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB.
∴ED=BF.
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.
∵AC为角平分线,∠DAB=120°,
∴∠ECA=∠FCA=30°,
∴AE=AF=
AC,
∴AE+AF=AC,
∴AB+AD=AE+AF=AC.
∴AB+AD=AC.
(3)AB+AD=
AC.
证明如下:如图③,过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F.
∵AC平分∠DAB,
∵CE⊥AD,CF⊥AF,
∴CE=CF.![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e0600d3f5fa01087bf40ad1cb0c.jpg)
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
又∵∠CED=∠CFB=90°.
∴△CFB≌△CED(AAS).
∴CB=CD.
延长AB至G,使BG=AD,连接CG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠CBG=∠ADC.
∴△GBC≌△ADC(SAS).
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.
∴∠ACG=90°.
∴AG=
AC.
∴AB+AD=
AC.
∵AC平分∠DAB,∠DAB=120°,
∴∠CAB=∠CAD=60°.
又∵∠B=∠D=90°,
∴∠ACB=∠ACD=30°.
∴AB=AD=
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即AB+AD=AC.
(2)AB+AD=AC.
证明如下:如图②,过C点分别作AD和AB延长线的垂线段,垂足分别为E、F.
∵AC平分∠DAB,
∴CE=CF.
∵∠ABC+∠D=180°,
∠ABC+∠CBF=180°,
∴∠CBF=∠D.
又∵∠CED=∠CFB=90°,
∴△CED≌△CFB.
∴ED=BF.
∴AD+AB=AE+ED+AB=AE+BF+AB=AE+AF.
∵AC为角平分线,∠DAB=120°,
∴∠ECA=∠FCA=30°,
∴AE=AF=
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∴AE+AF=AC,
∴AB+AD=AE+AF=AC.
∴AB+AD=AC.
(3)AB+AD=
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证明如下:如图③,过C点分别作AB和AD延长线的垂线段,垂足分别是E、F.
∵AC平分∠DAB,
∵CE⊥AD,CF⊥AF,
∴CE=CF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b999a9014c086e0600d3f5fa01087bf40ad1cb0c.jpg)
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∠ADC+∠EDC=180°,
∴∠ABC=∠EDC.
又∵∠CED=∠CFB=90°.
∴△CFB≌△CED(AAS).
∴CB=CD.
延长AB至G,使BG=AD,连接CG.
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠CBG=180°,
∴∠CBG=∠ADC.
∴△GBC≌△ADC(SAS).
∴∠G=∠DAC=∠CAB=45°.
∴∠ACG=90°.
∴AG=
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∴AB+AD=
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