如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B1C1⊥AC于C1交AB的延长线于B1．（1）请你探究：ACAB＝CDDB，AC1AB1＝C1DDB1是否都成立？（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形

Question

如图1所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D点的直线B₁C₁⊥AC于C₁交AB的延长线于B₁．

（1）请你探究：(AC)/(AB)＝(CD)/(DB)，(AC1)/(AB1)＝(C1D)/(DB1)是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问(AC)/(AB)＝(CD)/(DB)一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图2所示Rt△ABC中，∠ACB=90︒，AC=8，AB=(40)/(3)，E为AB上一点且AE=5，CE交其内角角平分线AD于F．试求(DF)/(FA)的值．

Answer 1

（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴(AC)/(AB)=(CD)/(DB)；
∵∠C₁AB₁=60°，
∴∠B₁=30°，
∴AB₁=2AC₁，
又∵∠DAB₁=30°，
∴DA=DB₁，
而DA=2DC₁，
∴DB₁=2DC₁，
∴(AC1)/(AB1)=(C1D)/(DB1)；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴(AC)/(EB)=(CD)/(BD)
而BE=AB，
∴(AC)/(AB)=(CD)/(DB)；
（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴(CD)/(DB)=(AC)/(AB)=(8)/((40)/(3))=(3)/(5)，(EF)/(FC)=(AE)/(AC)=(5)/(8)，
又∵(AE)/(EB)=(5)/((40)/(3)−5)=(3)/(5)，
∴(CD)/(DB)=(AE)/(EB)，
∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴(DF)/(AF)=(EF)/(CF)=(5)/(8)．