已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB．求证：（1）CD=EF；（2）CE＝DF．

Question

已知：如图，P为直径AB上一点，EF、CD为过点P的两条弦，且∠DPB=∠EPB．
求证：
（1）CD=EF；
（2）

CE

＝

DF

．

Answer 1

证明：（1）过点O作OM⊥EF于M，作ON⊥CD于N，连接OD、OE，
∵∠DPB=∠EPB，
∴OM=ON．
又∵OE=OD，
∵∠OMP=∠ONP=90°，
∴Rt△ODN≌Rt△OEM（HL）．
∴DN=EM．
∵OM⊥EF，ON⊥CD，
∴点M是EF的中点，点N是CD的中点．
∴EM=(1)/(2)EF，DN=(1)/(2)CD．
∴CD=EF．

（2）∵CD=EF，
∴

CD

＝

EF

，
∴

CD

−

FC

＝

EF

−

FC

．
即

CE

＝

DF

．