如图，O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．（1）如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是O的切线；（2）如图2，当点F是CD的

Question

如图， O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°，点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．
（1）如图1，当∠ACD=45°时，求证：DE是 O的切线；
（2）如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接OD．
∵∠C=45°，
∴∠AOD=2∠C=90°，
∵ED∥AB，
∴∠AOD+∠EDO=180°，
∴∠EDO=90°，
∴ED⊥OD，
∴ED是 O切线．
（2） 如图2中，连接BC，
∵CF=DF，
∴AF⊥CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵AB∥ED，
∴ED⊥DC，
∴∠EDC=90°，
在RT△ACB中，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=2，
∴BC=1，AC=√(3)，
∴CF=(1)/(2)AC=(√(3))/(2)，CD=2CF=√(3)，
在RT△ECD中，
∵∠EDC=90°，CD=√(3)，∠E=∠CAB=30°，
∴EC=2CD=2√(3)，ED=√(EC2-CD2)=3，
∴S_△ECD=(1)/(2)•ED•CD=(3√(3))/(2)．