已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．（1）求证：CD⊥平面ADP；（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B-APM的体积．

Question

已知PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BA⊥AD，CD=AD=AP=4，AB=2．

（1）求证：CD⊥平面ADP；
（2）若M为线段PC上的点，当BM⊥PC时，求三棱锥B-APM的体积．

Answer 1

（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ADP，
所以平面ADP⊥平面ABCD．…（2分）
又因为平面ADP∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，
所以CD⊥平面ADP．…（4分）
（2）取CD的中点F，连接BF，
在梯形ABCD中，因为CD=4，AB=2，
所以BF⊥CD．
又BF=AD=4，所以BC=2√(5)．
在△ABP中，由勾股定理求得BP=2√(5)．
所以BC=BP．…（7分）
又知点M在线段PC上，且BM⊥PC，
所以点M为PC的中点．…（9分）
在平面PCD中过点M作MQ∥DC交DP于Q，连接QB，QA，
 则V_{三棱锥B-APM}=V_{三棱锥M-APB}=V_{三棱锥Q-APM}=V_{三棱锥B-APQ}=(1)/(3)×((1)/(2)×4×2)×2=(8)/(3)…（12分）