如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．（1）求证：直线CE是⊙O的切线．（2）若BC=3，CD=32，求弦AD的长．

Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

（1）求证：直线CE是⊙O的切线．
（2）若BC=3，CD=3√(2)，求弦AD的长．

Answer 1

（1）证明：连结OC，如图，
∵AD平分∠EAC，
∴∠1=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠2，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DC，
∴OD⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；

（2）∵∠CDO=∠ADB=90°，
∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，
∴△CDB∽△CAD，
∴(CD)/(CA)=(CB)/(CD)=(BD)/(AD)，
∴CD²=CB•CA，
∴（3√(2)）²=3CA，
∴CA=6，
∴AB=CA-BC=3，(BD)/(AD)=(3√(2))/(6)=(√(2))/(2)，设BD=√(2)K，AD=2K，
在Rt△ADB中，2k²+4k²=5，
∴k=(√(30))/(6)，
∴AD=(√(30))/(3)．