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如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、CD中点，连接DE、EF、FB分别交AC于M、P、Q，且DE=4，求PQ的长．
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如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、CD中点，连接DE、EF、FB分别交AC于M、P、Q，且DE=4，求PQ的长．
▼优质解答
答案和解析
作DH⊥AB于H，CQ⊥AB于Q，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=4，CD∥AB，
∵E、F分别是AB、CD中点，
∴DF=BE=2，
而DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴PM=PQ，DE∥BF，
∴ME为△ABQ的中位线，
∴AM=MQ，
同理可得CQ=MQ，
∴AM=MQ=CQ，
∴PQ=
AC，
∵AD=DE=4，DH⊥AE，
∴AH=HE=1，
∴DH=
=
=
，
∵CD∥HQ，DH∥CQ，
∴四边形DHQC为平行四边形，
而∠DHQ=90°，
∴四边形DHQC为矩形，
∴CQ=DH=
，HQ=CD=4，∠HQC=90°，
在Rt△ACQ中，AC=
=
=2
，
∴PQ=
×2
=
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD=AB=CD=4，CD∥AB，
∵E、F分别是AB、CD中点，
∴DF=BE=2，
而DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴PM=PQ，DE∥BF，
∴ME为△ABQ的中位线，
∴AM=MQ，
同理可得CQ=MQ，
∴AM=MQ=CQ，
∴PQ=
| 1 |
| 6 |
∵AD=DE=4，DH⊥AE，
∴AH=HE=1，
∴DH=
| AD2-AH2 |
| 42-12 |
| 15 |
∵CD∥HQ，DH∥CQ，
∴四边形DHQC为平行四边形，
而∠DHQ=90°，
∴四边形DHQC为矩形，
∴CQ=DH=
| 15 |
在Rt△ACQ中，AC=
| CQ2+AQ2 |
(
|
| 10 |
∴PQ=
| 1 |
| 6 |
| 10 |
|
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