（2010•苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．（1）求证：OE∥AB；（2）求证

Question

（2010•苏州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．
（1）求证：OE∥AB；
（2）求证：EH=(1)/(2)AB；
（3）若(BH)/(BE)＝(1)/(4)，求(BH)/(CE)的值．

Answer 1

（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，
∴∠B=∠C，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠C，
∴∠B=∠OEC，
∴OE∥AB．

（2）证明：连接OF．
∵⊙O与AB切于点F，
∴OF⊥AB，
∵EH⊥AB，
∴OF∥EH，
又∵OE∥AB，
∴四边形OEHF为平行四边形，
∴EH=OF，
∵OF=(1)/(2)CD=(1)/(2)AB，
∴EH=(1)/(2)AB．

（3）连接DE．
∵CD是直径，
∴∠DEC=90°，
则∠DEC=∠EHB，
又∵∠B=∠C，
∴△EHB∽△DEC，
∴(BH)/(CE)=(BE)/(CD)，
∵(BH)/(BE)=(1)/(4)，
设BH=k，
则BE=4k，
EH=√(BE2−BH2)=√(15)k，
∴CD=2EH=2√(15)k，
∴(BH)/(CE)=(BE)/(CD)=(4k)/(2√(15)k)=

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