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已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;(2)如图2,当E不在CD的
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已知四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,连接AC,过点A作AE⊥AC,且使AE=AC,连接BE,过A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
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(1)如图1,当E在CD的延长线上时,求证:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如图2,当E不在CD的延长线上时,BF=EF还成立吗?请证明你的结论.
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▼优质解答
答案和解析
证明:(1)①如图1,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2019-04/14/1555256908-6804.jpg)
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,![作业搜](https://www.zaojiaoba.cn/2019-04/14/1555256908-5958.jpg)
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴
=
=1,
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN∥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴
=
=1,
∴BF=EF.
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∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵
|
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如图1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
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∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴
BF |
FE |
CH |
HE |
∴BF=EF;
(2)结论仍然成立,理由是:
如图2所示,过E作MN∥AH,交BA、CD延长线于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵
|
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴
BF |
EF |
AB |
AM |
∴BF=EF.
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