已知正方体ABCD-A1B1C1D1，如图（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F．并证明：A1E=EF=FC．

Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图

（1）求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）试找出体对角线A₁C与平面AB₁D₁和平面C₁BD的交点E，F．并证明：A₁E=EF=FC．

Answer 1

证明：（1）∵已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，如图
∴B₁D₁∥BD；AD₁∥BC₁
∵B₁D₁∩AD₁=D₁，BD∩BC₁=B，
∴平面AB₁D₁∥平面C₁BD；
（2）如图，连接A₁C₁交B₁D₁于点O₁，平面AA₁CC₁交平面AB₁D₁和平面C₁BD于AO₁，C₁O；连接AO₁，
则A₁C与AO₁，C₁O的交点即分别为E，F点．
∴AO₁∥C₁O；
∴可得：(A1E)/(EF)=(A1O1)/(O1C1)，即：A₁E=EF，
(CF)/(FE)=(CO)/(OA)，即有：CF=FE，
综上可得：A₁E=EF=FC．