（2014•黄岩区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，EF与AB、AC的延长线分别交于点E、F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）求证：AF+CF=AB．

Question

（2014•黄岩区二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作EF∥BC，EF与AB、AC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AF+CF=AB．

Answer 1

证明：（1）连结OD，如图．
∵AD平分∠BAC交⊙O于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∴OD⊥BC，
∵BC∥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；

（2）连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，如图．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BH，
∴∠ADB=∠ADH=90°，
在△ADH和△ADB中，

∠HAD＝∠BAD

AD＝AD

∠ADH＝∠ADB

，
∴△ADH≌△ADB（ASA），
∴AH=AB．
∵EF是切线，
∴∠CDF=∠CAD，∠HDF=∠EDB=∠BAD，
∴∠CDF=∠HDF．
在△CDF与△HDF中，

∠CDF＝∠HDF

DF＝DF

∠CFD＝HFD＝90°

，
∴△CDF≌△HDF（ASA），
∴FH=CF，
∴AF+CF=AF+FH=AH=AB，
即AF+CF=AB．