已知在正方形ABCD中,AC、BD相交于点O,Q在CD上,P在BC上且AQ⊥DP于点F求证：OP⊥OQ

Question

已知在正方形ABCD中,AC、BD相交于点O,Q在CD上,P在BC上且AQ⊥DP于点F
求证：OP⊥OQ

Answer 1

∵AD⊥BC,ABCD为正方形.
∴∠QAD+∠ADP=∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠DCA=90°,且AD=DC.即{∠QAD=∠PDC,∠ADC=∠DCB=90°,AD=DC.（ASA）
∴△ADQ≌△DCP,即DQ=PC.又OC=OD（正方形对角线相等且相互平分）,∠OCB=∠ODC=45°（正方形的对角线平分一组对角,正方形四角皆为直角）.
∴△DOC≌△COP,又AO⊥DB于O（正方形对角线相互垂直）,即∠DOQ+∠QOC=90°,又∠DOQ=∠COP（由△DOC≌△COP而得）.
∴∠POC+POC=90°,即OP⊥OQ.