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求证:1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1
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求证:1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1
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答案和解析
证明：1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!
=1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!+(1!+2!+3!+…+n!) - (1!+2!+3!+…+n!)
=2·1!+3·2!+4·3!+…+n·(n-1)!+(n+1)·n!- (1!+2!+3!+…+n!)
=2!+3!+…+n!+(n+1)!- (1!+2!+3!+…+n!)
=(n+1)!- 1!
=(n+1)!-1
等式得证.
=1·1!+2·2!+3·3!+…+n·n!+(1!+2!+3!+…+n!) - (1!+2!+3!+…+n!)
=2·1!+3·2!+4·3!+…+n·(n-1)!+(n+1)·n!- (1!+2!+3!+…+n!)
=2!+3!+…+n!+(n+1)!- (1!+2!+3!+…+n!)
=(n+1)!- 1!
=(n+1)!-1
等式得证.
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