设集合A={（x，y）|m2≤（x-2）2+y2≤m2，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值．

Question

设集合A={（x，y）|(m)/(2)≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}，B={（x，y）|2m≤x+y≤2m+1，x，y∈R }，若A∩B≠∅，求实数m的取值．

Answer 1

∵对任意m∈R，都有2m≤2m+1，所以B≠∅，
集合B表示在直线x+y=2m与直线x+y=2m+1之间的平面区域（包含边界）．
当(m)/(2)＞m²，即0＜m＜(1)/(2)时，A=∅，不满足条件；
当(m)/(2)≤m²，即m≤0或m≥(1)/(2)时，A≠∅．
（1）若m≤0，则A={（x，y）|（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
半径为|m|的圆面（m=0时是原点），
A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m+1的距离不大于半径|m|，
即(|2−2m−1|)/(√(2))≤|m|，即2m²-4m+1≤0，即（m-1）²≤(1)/(2)，解得1-(√(2))/(2)≤m≤1+(√(2))/(2)，所以m∈∅；
（2）若m≥(1)/(2)，则A={（x，y）|(m)/(2)≤（x-2）²+y²≤m²，x，y∈R}表示以点（2，0）为圆心，
大圆半径为|m|，小圆半径为√((m)/(2))的圆环．
当（2，0）∈B，即2m≤2≤2m+1，即(1)/(2)≤m≤1时，A∩B≠∅，满足条件；
若m＞1，则A∩B≠∅等价于点（2，0）到直线x+y=2m的距离不大于半径|m|，
即(|2−2m|)/(√(2))≤|m|，即m²-4m+2≤0，即（m-2）²≤2，解得2-√(2)≤m≤2+√(2)，所以1＜m≤2+√(2)，满足条件．
综上，实数m的取值范围是[(1)/(2)，2+√(2)]．