已知函数f（x）=|lnx|，x>0x2+4x+1，x≤0，g（x）=f（x）-a（1）当a=2时，求函数g（x）的零点；（2）若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点分别

Question

已知函数f（x）=

|lnx|，x>0

x2+4x+1，x≤0

，g（x）=f（x）-a
（1）当a=2时，求函数g（x）的零点；
（2）若函数g（x）有四个零点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，记g（x）得四个零点分别为x₁，x₂，x₃，x₄，求x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围．

Answer 1

（1）当x>0时，由|lnx|=2解得x=e²或x=(1)/(e2)，…（2分）
当x≤0时，由x²+4x+1=2解得x=-2+√(5)（舍）或x=-2-√(5)，
∴函数g（x）有三个零点，分别为x=e²或x=(1)/(e2)，x=-2-√(5)．…（4分）
（2）函数g（x）=f（x）-a的零点个数即f（x）的图象与c的图象的交点个数，
作函数f（x）的图象y=a的图象，结合两函数图象可知，
函数g（x）有四个零点时a的取值范围是0<a≤1；…（8分）
（3）不妨设x₁<x₂<x₃<x₄，结合图象知x₁+x₂=-4且0<x₃<1，x₄>1，…（9分）
由|lnx₃|=|lnx₄|=a，知x₃x₄=1且x₄∈（1，e]，
∴x₃+x₄=(1)/(x4)+x₄∈（2，e+(1)/(e)]，…（11分）
故x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是∈（-2，e+(1)/(e)-4]…（12分）