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已知a,b,c是互不相等的正数,求证:2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
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已知a,b,c是互不相等的正数,求证:2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)
▼优质解答
答案和解析
【注:用柯西不等式证明】
证明:
【1】
易知,2(a+b+c)
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)].
【2】
由题设及柯西不等式可得:
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)]
≥(√2+√2+√2)²=18.
整理即得:
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)≥9/(a+b+c).
等号仅当a+b=b+c=c+a时取得,但a,b,c互不相等.
故其中的等号不能取得.
∴原不等式成立.
证明:
【1】
易知,2(a+b+c)
=[(a+b)+(b+c)+(c+a)].
【2】
由题设及柯西不等式可得:
[(a+b)+(b+c)+(c+a)]×[2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)]
≥(√2+√2+√2)²=18.
整理即得:
2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)≥9/(a+b+c).
等号仅当a+b=b+c=c+a时取得,但a,b,c互不相等.
故其中的等号不能取得.
∴原不等式成立.
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