拓扑学/同胚书上说半开半闭区间0,1）和圆周不同胚,f=e^2πix,因为逆映射不连续.不是很理解啊.

Question

拓扑学/同胚
书上说半开半闭区间【0,1）和圆周不同胚,f=e^2πix,因为逆映射不连续.不是很理解啊.

Answer 1

逆映射确实不连续啊.同胚要求存在f和f^(-1)都连续.
现在f(x)=exp(2πix):[0,1)->S^1.考虑y{n}=exp[2πi(1-1/n)],则lim y{n}=exp(2πi)=1.而f^(-1)(y{n})=1-1/n,f^(-1)(1)=0,所以
f^(-1)(lim y{n})=f^(-1)(1)=0≠1=lim f^(-1)(y{n}),
所以f^(-1)不连续