已知曲线L的方程x＝t2+1y＝4t−t2，（t≥0）．（Ⅰ）讨论L的凹凸性；（Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点（x0，y0），并写出切线的方程；（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x0的部分）及x轴所

Question

已知曲线L的方程

x＝t2+1

y＝4t−t2

，（t≥0）．
（Ⅰ）讨论L的凹凸性；
（Ⅱ）过点（-1，0）引L的切线，求切点（x₀，y₀），并写出切线的方程；
（Ⅲ）求此切线与L（对应于x≤x₀的部分）及x轴所围成的平面图形的面积．

Answer 1

（I） 由题得：(dx)/(dt)＝2t，  (dy)/(dt)＝4−2t，
∴(dy)/(dx)＝((dy)/(dt))/((dx)/(dt))＝(4−2t)/(2t)＝(2)/(t)−1，
   (d2y)/(dx2)＝(d((dy)/(dx)))/(dt)•(1)/((dx)/(dt))＝(−(2)/(t2))•(1)/(2t)＝−(1)/(t3)＜0  (t＞0)
∴曲线L在t≥0是凸的．

（II）过点（-1，0）的切线方程为y−0＝((2)/(t)−1)(x+1)，
设x0

＝t

2 0

+1，y0＝4t0−

t

2 0

，
则  4t0

−t

2 0

＝((2)/(t0)−1)(

t

2 0

+2)，
∴4

t

2 0

−

t

3 0

＝(2−t0)(

t

2 0

+2)，
有  

t

2 0

+t0−2＝0，
∴（t₀-1）（t₀+2）=0，
∵t₀＞0，
∴t₀=1，
于是切点的坐标为A（2，3），切线方程为y=x+1．

（III）设曲线L的方程x=g（y）
由：t²-4t+y=0，
解得：t＝2±√(4−y)，
从而：x＝(2±√(4−y))2+1，
由于点A（2，3）在曲线L上，∴y=3时，x=2，
可知：x＝(2−√(4−y))2+1＝g(y)，可得：切线、曲线L、x轴之间围成的图形如右所示，其中B、C的坐标为：（-1，0）和（1，0）
所以平面图形的面积

S＝∫

3 0

[(g(y)−(y−1))]dy，
则 S＝

∫

3 0

[(9−y−4√(4−y))−(y−1)]dy

＝∫

3 0

(10−2y)dy−

4∫

3 0

√(4−y)dy
=(10y−y2)

|

3 0

+4

∫

3 0

√(4−y)d(4−y)
=21+4×(2)/(3)×(4−y)(3)/(2)

|

3 0

=(7)/(3)