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已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.
题目详情
已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0.
▼优质解答
答案和解析
•假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数.
不妨先设a≤0.下面分a=0和a<0两种情况讨论.
如果a=0,则abc=0,与abc>0矛盾,所以a=0不可能.
如果a<0,那么由abc>0可得
bc<0.
又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0.
于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,
这和已知ab+bc+ca>0相矛盾.
因此,a<0也不可能.
综上所述,a>0.
同理可证b>0,c>0.
所以原命题成立.
不妨先设a≤0.下面分a=0和a<0两种情况讨论.
如果a=0,则abc=0,与abc>0矛盾,所以a=0不可能.
如果a<0,那么由abc>0可得
bc<0.
又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0.
于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0,
这和已知ab+bc+ca>0相矛盾.
因此,a<0也不可能.
综上所述,a>0.
同理可证b>0,c>0.
所以原命题成立.
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