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设f(x)二阶可导,且f``(x)>0,f(0)=0,则F(x)=f(x)/x在(0,正无穷)内单调递增还是递减?
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设f(x)二阶可导,且f``(x)>0,f(0)=0,则F(x)=f(x)/x在(0,正无穷)内单调递增还是递减?
▼优质解答
答案和解析
F‘(x)=[xf'(x)-f(x)]/x²
令 g(x)=xf'(x)-f(x),x≥0,则 g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)≥0
从而 g(x)在[0,+∞)是增,当x>0时,有g(x)>g(0)=0
从而 F'(x)=g(x)/x²>0,F(x)在 (0,+∞)是增
令 g(x)=xf'(x)-f(x),x≥0,则 g'(x)=f'(x)+xf''(x)-f'(x)=xf''(x)≥0
从而 g(x)在[0,+∞)是增,当x>0时,有g(x)>g(0)=0
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